Pirâmides-Geometria espacial

Pirâmides

Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

• base: o polígono convexo R

• arestas da base: os lados do polígono

• arestas laterais: os segmentos

• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA

• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;

• as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

1) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral




(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

2)Daniela tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Daniela quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.


Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].













3) A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e altura aproximada de 147m. Qual é o seu volume? Resp. → V = 2.592.100m3